采采流水

An Essay Concerning Human Understanding

量子力学常见对易关系

2015-09-16


#量子力学常见对易关系及其证明

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##1. 基本对易关系 $$ \begin{equation} [X{\alpha},P{\beta}]=i\hbar \label{eq:1} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B \end{equation} $$

$$ \begin{align} [A,f(B)]&=\frac{\partial f}{\partial B}[A,B]
[f(A),B]&=-\frac{\partial f}{\partial A}[A,B] \label{eq:2} \end{align} $$ 根据\eqref{eq:2}可推出 $$ \begin{align} [X,f(P)]&=-i\hbar\frac{\partial f}{\partial P}
[f(X),P]&=i\hbar\frac{\partial f}{\partial X}
[A,B^n]&=n B^{n-1} [A,B] \label{eq:3} \end{align} $$

##2. 常见力学量的对易关系 - 角动量 ($J,J^2$) - 升降算符 ($J_{\pm},a^+,a$) - 自旋算符 ($\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$)

角动量: $$ \begin{align} [J{\alpha},X{\beta}]&=i\hbar\varepsilon{\alpha\beta\gamma}X{\gamma}
[J{\alpha},P{\beta}]&=i\hbar\varepsilon{\alpha\beta\gamma}P{\gamma}
[J^{2},J_{\alpha}]&=0
\end{align
} $$ 下面证明: $$ \begin{align} [J{z},J{\pm}]&=[J{z},J{x}\pm i J{y}]
&=[J
{z},J{x}]+[J{z},\pm i J{y}]
&=i\hbar J
{y}\pm i[J{z}, J{y}]
&=i\hbar J{y}\pm i(-i\hbar J{x})
&=i\hbar J{y}\pm\hbar J{x}
&=\pm\hbar J_{\pm} \end{align
} $$

升降算符

谐振子的哈密顿量为: $$ \begin{align} H=\hbar \omega(\frac{1}{2}+a^+a)
\end{align
} $$

$$ \begin{align} a|n\rangle&=\sqrt{n}|n-1\rangle
a^+|n\rangle&=\sqrt{n+1}|n+1\rangle \end{align
} \eqref{eq:1} $$