采采流水

An Essay Concerning Human Understanding

Spectral Density Function

2018-03-01


谱函数截断 之 关联函数图像

[TOC]

1.简明定义

谐振子热库的关联函数: $$ C(t) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} J(\omega)\left[ \coth \frac{\beta\omega}{2}\cos \omega t - i \sin \omega t\right] \, d\omega, $$ 谱密度函数: $$ J(\omega) = \frac{\pi}{2}\sum_j \frac{c_j^2}{\omega_j}\delta(\omega-\omega_j). $$ 这里我们只关注其指数形式: $$ J(\omega)=\frac{\pi}{2}\alpha\omega^s\omega_c^{1-s}f(\frac{\omega}{\omega_c}), $$ $f(\omega/\omega_c)$ 是截断函数,因为高频部分必然会衰减趋于零。

2. 两种截断方式

针对谱函数做两种截断处理。

2.1 有理分式截断

$$ f(x=\frac{\omega}{\omega_c})=\frac{1}{(1+x^2)^{-2}} $$

2.2 指数衰减截断

$$ f(x=\frac{\omega}{\omega_c})=\mathcal{e}^{-x} $$

3. 函数图像

还是先用 Mathematica 画出来看看,最后用 Origin 画细致一点。

需要先对 $\alpha$ 赋值。

红线表示 Rational fraction cutoff

蓝线表示 Exponential cutoff

实线表示实部

点线表示虚部